Orthogonal Procrustes problem

Orthogonal Procrustes problem 是线性代数和数值分析中的一个经典问题，通常用于在两个矩阵之间找到最优的旋转和反射变换，以最小化它们之间的差异。

问题定义

给定两个大小为 $n\times m$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，目标是找到一个正交矩阵 $\mathbf{R}$（即 ${\mathbf{R}}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}$，其中 $\mathbf{I}$ 是单位矩阵），使得通过该正交矩阵变换后，矩阵 $\mathbf{A}$ 尽可能接近矩阵 $\mathbf{B}$。具体来说，这个问题可以表述为以下优化问题：

$$\underset{\mathbf{R}}{\min }\Vert \mathbf{AR}-\mathbf{B}{\Vert }_F$$

其中 $\Vert \cdot {\Vert }_F$ 表示矩阵的 Frobenius 范数（即矩阵中所有元素的平方和的平方根），$\mathbf{AR}$ 表示将矩阵 $\mathbf{A}$ 经过正交变换后的结果。

目标

Orthogonal Procrustes problem 的目标是在旋转、反射的约束下，找到将 $\mathbf{A}$ 变换为 $\mathbf{B}$ 最接近的方式。因此，$\mathbf{R}$ 是一个旋转矩阵或旋转与反射组合的矩阵。这个问题在很多实际应用中被用到，例如：

1. 形状分析：比较不同对象的形状，找到最优对齐。
2. 机器学习和数据分析：用于配准问题（registration problem），即在不同数据集之间找到最优的对齐方式。
3. 计算机视觉：在点云、3D物体等场景中，比较两个形状或姿态的变换关系。
4. 心理学：在多维标度分析中比较两个解的结果。

问题的求解

Orthogonal Procrustes problem 的一个常见解法是通过奇异值分解（SVD）。具体步骤为：

1. 计算矩阵 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{B}$ 的奇异值分解： $${\mathbf{A}}^T\mathbf{B}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$
2. 令最优的旋转矩阵 $\mathbf{R}=\mathbf{U}{\mathbf{V}}^T$。

该方法保证找到的是 Frobenius 范数下的全局最优解。

总结

Orthogonal Procrustes problem 通过旋转和反射变换最小化两个矩阵之间的差异，广泛用于几何对齐、模式识别、数据处理等领域。