斐波那契数列_(矩阵乘法)

原题链接：205. 斐波那契 - AcWing题库

题意：计算第n个斐波那契数列值取模后的结果

思路

考虑递归求解 —— 超时

考虑通项公式 —— 有小数且无法取模

矩阵乘法

分析问题，求第n个斐波那契数列值的模值

构建矩阵 $a_n,a_{n+1}为A_n$ 利用矩阵，可以看到：

斐波那契数列_(矩阵乘法) 2024-04-21 11.38.19.excalidraw

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Text Elements

{0, 1} {0, 0}

x

{0, 1} {1, 1}

=

{1, 1} {0, 0}

首行为斐波那契数列，下一行为了实现统一为2*2的矩阵乘法 添加的0，可以通过矩阵乘法求解斐波那契数列

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乘法时可以随时取模

只是乘法依旧超时

使用快速幂

时间复杂度为$log(n)$

实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
 
using namespace std;
 
const int mod = 10000;
 
int n;
 
void mul(int a[][2], int b[][2])
{
    int c[2][2] = {};
    for(int i = 0; i < 2; i ++)
        for(int j = 0; j < 2; j ++)
            for(int k = 0; k < 2; k ++)
                c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mod;
    
    //复制
    memcpy(a, c, sizeof c);
}
 
void Fi(int a[][2], int b[][2])
{
    int t = n;
    while(t)
    {
        if(t & 1) mul(a, b);
        mul(b, b);
        t >>= 1;
    }
}
 
 
int main()
{
    while(cin >> n, n != -1)
    {
        int a[2][2] = {0, 1, 0, 0}, b[2][2] = {0, 1, 1, 1};
        
        Fi(a, b);
        
        cout << a[0][0] << endl;
    }
    
    return 0;
}